Axiome
Ich frage mich schon des Längeren, ob es nicht sinnvoller wäre in der Schule Mathematik zu lehren, anstatt nur das Rechnen.
Nun jaa... wie dem auch sei; Ich habe immer noch keine Antwort dazu....
Mathematik wird in der Gesellschaft oft als etwas göttliches wahrgenommen, wobei es sich oft nur, um Formale Defintionen von anderen Menschen handelt, nicht mehr und nicht weniger, wobei dies eventuell die Schwierigkeit ausmacht. Wir Menschen sind Individuen und haben unsere eigene Art und Weise dinge auszudrücken, allerdings wäre sowas in der Mathematik verheerend, denn man braucht ein homogenes Kommunukationsmittel. Stellt euch vor wir hätten alle eine eigene Sprache. Das wäre nicht nur komisch, sondern auch sehr unpraktikabel. Eine Sprache wie Deutsch lässt sich einfacher lernen, weil wir darauf angewiesen sind in unserem Alltag. Die Mathematik können wir theoretisch links liegen lassen und könnten trotzdem unser Leben weiterleben. Das macht wahrscheinlich die andere Schwierigkeit aus. Man lernt etwas dann nur, wenn es wiederholt wird. Unser Gehirn kann nur Information nachhaltig, persistent speichern, wenn diese Aktivitäten wiederholt werden. Oder weiß jemand wie das Verb "laufen" im Plusquamperfekt lautet?
Doch was sind denn Axiome nun?
- Axiome sind Aussagen, die weder begründet noch bewiesen werden müssen. Es sind Aussagen die einfach fest gelegt wurden.
- Ein Axiom ist eine unabgeleitete Aussage. Die Wahl eines Axiom ist Willkür.
- Die Mathematik baut auf Axiome auf. Die Axiome wurden so gewählt, dass innerhalb des Axiomensystems logische Schlüsse widerspruchsfrei gezogen werden können. Diese Axiome können nicht bewiesen werden und haben nichts mit Prädikaten zu tun, also sind weder falsch noch richtig
Beispiel
1+1=2 ist wahr auf der Basis der unbewiesenen Axiome.
Axiome in der Zahlentheorie
- $0$ ist eine natürliche Zahl ($0$ Element $N$)
- Jeder Nachfolger einer natürlichen Zahl ist eine natürliche Zahl ($n$ Element $N$ => $n+1$ Element $N$)
- $0$ ist nicht der Nachfolger einer natürlichen Zahl. ($0!=n+1$ für $n$ Element $N$)
- Sind die Nachfolger zweier natürliche Zahlen gleich, so sind die Zahlen gleich ($n+1=m+1 => n=m$ für $n,m$ Element $N$)
- Induktionsprinzip: $S(0)$ und $(S(n) => S(n+1))$ dann $S(n)$ für alle $n$ Element $N$
Beispiel Vollständige Induktion
Die Vollständige Induktion ist folgendermaßen aufgebaut:
- Induktionsanfang (I.A.): Zeige, dass die Aussage für ein bestimmtes $n0$ (also z.B. $n0=0$) gilt. Hierbei reicht einfach das einsetzen
- Induktionsvorraussetzung (I.V.)): "Sei $n∈N$ beliebig, aber fest und es gelte: "
- Induktionsschritt (I.S.): Ausgehend von I.V. ist zu zeigen, dass die Aussage für $n0+1$ gilt. (<- Der Punkt indem Axiome eine sehr wichtige Rolle spielen...Dominoeffekt)
Folgende Aussage (gaußsche Summenformel) wird mittels Vollständige Induktion auf Korrektheit geprüft:
$\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$
-
Induktionsanfang:
$n=1$
$\sum_{i=1}^1 i = 1$$\frac{1(1+1)}{2} = 1$
-
Induktionsvorraussetzung:
$\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$ -
Induktionsschritt: $n=2$
$\sum_{i=1}^2 i = 3$$\frac{2(2+1)}{2} = 3$
Dies könnten wir natürlich einfach weiterführen mit jede Zahl $n$, doch es wäre am sinnvollsten es direkt für alle Zahlen zu beweisen, deshalb verwenden wir für $n$ einfach $n+1$, um die jeweils darauffolgende Zahl miteinzubeziehen. Ohne Axiome wäre das ganze garnicht so einfach.
Einsetzen $n=n+1$ in $\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$
= $\frac{n(n+1)}{2}$$+$$(n+1)$
= $\frac {n(n+1)}{2}+ \frac {2(n+1)}{2}$
= $\frac {n(n+1)+2(n+1)}{2}$
= $\frac {n2+3n+2}{2}$
Es ist deutlich zu erkennen, dass sowohl die rechte als auch die linke Seite äquivalent sind, also qed.
Fazit
- Axiome sind Grundannahmen, die meist aus bereits vorhandenen Vorstellungen über den zu definierenden Begriff resultieren, von deren Gültigkeit man ausgeht und die deshalb auch nicht bewiesen werden müssen.
- Axiome sollen zu keinem Widerspruch führen.
- Keines der Axiome soll aus den anderen Festlegungen des Axiomensystems hergeleitet werden können.
Nachdem ich die Axiome in der Mathematik verstanden habe, hat der Induktionsschritt mein Gehirn zum leuchten gebracht, denn davor hatte ich mich gefragt: "Warum geht man bei der Vollständigen Induktion davon aus, dass der $n i$ Schritt korrekt ist, denn es kann ja sein, dass der Stein bei irgend einer Zahl $n$ nicht mehr fällt (Dominoeffekt)?"
Manchmal fehlt es nur an kleinen Informationen, um Lücken sinnvoll zu füllen.